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Bolle di sapone: quando giocando si ha a che fare con la matematica

Lo scorso fine settimana, mai tardi come quest’anno, ci siamo finalmente concessi i primi tuffi in mare. Siamo stati vicino S. Vincenzo, nel parco naturale di Rimigliano, insieme ad una coppia di amici con la loro figlia di quasi sei anni. Il tempo di piantare l’ombrellone, spalmare velocemente la crema ai miei uomini che Furbetto era già in acqua a fare, come dice lui, ciaffe…ciaffe…

Fin qui tutto bene, se non fosse che dopo un’oretta abbiamo visto il cielo diventare sempre più nero. Fosse iniziata solo la pioggia, poco male, avremmo aspettato in spiaggia fino a che la nuvola passeggera (avevo visto le previsioni, doveva per forza essere una nuvola passeggera) non fosse andata via; sfortunatamente, sono comparsi lampi e tuoni con i quali è meglio non scherzare. Abbiamo radunato rapidamente le nostre cose, che si sa, con i bambini a seguito sono solo due cosette e siamo corsi al riparo, fiduciosi di poter tornare appena passato il tipico temporale estivo. Effettivamente, il tutto sarà durato poco più di un quarto d’ora e di nuovo borse e giocattoli in spalla, siamo tornati a goderci il sole che era tornato a splendere. Mio figlio si è rituffato in mare in men che non si dica mentre la figlia dei nostri amici ha tirato fuori il suo tubone di bolle di sapone.

Temporale e bolle di sapone: cosa hanno in comune?

Mentre guardavo le bolle di sapone prendere forma e volteggiare nel vento, mi è tornato in mente Alessio Figalli, di cui avrete sicuramente sentito parlare qualche mese fa per essere stato insignito di un importante riconoscimento, la medaglia Fileds, un premio considerato l’equivalente del Nobel per la matematica.

Gli studi di Figalli hanno rivelato che, grazie ad una equazione, è possibile prevedere il movimento delle nuvole, dovuto allo spostamento di miliardi di particelle di vapore. La ricerca che gli ha permesso di risolvere questa equazione è partita da uno dei problemi matematici più classici, quello del trasporto ottimale, applicato ad un campo nuovo. Indovinate un po’ di cosa si tratta? Le bolle di sapone!!! Grazie al trasporto ottimale è possibile capire come la forma ideale di una bolla cambi sotto l’azione di forze esterne. Con lo stesso approccio è possibile descrivere i fenomeni atmosferici, anche se probabilmente ci vorranno anni perché la teoria di Figalli possa essere applicata proficuamente alle previsioni meteo e ci faccia risparmiare un su e giù per le spiagge carichi come muli!

La forma delle bolle di sapone

Tornando alla figlia dei nostri amici, il tubone di cui vi parlavo era di questo tipo:

Ai miei tempi, a meno che non ricordi male, esistevano soltanto telai di forma circolare, quindi era facile credere nella misconcezione che la forma sferica delle bolle dipendesse dalla forma del telaio utilizzato.

In realtà, sappiamo benissimo che questo non è vero perché, utilizzando ad esempio una bacchetta come quelle che vi ho appena mostrato, si può subito notare che le bolle tendono inevitabilmente ad assumere una forma sferica. Vi siete mai domandati il perché di questo fenomeno?

La proprietà isoperimetrica

Partiamo da una leggenda narrata da Virgilio nell’Eneide (libro 1, 360-368):

Didone, arrivata in Africa, chiese al potente Larba, re dei Gentili, un tratto di terra per costruirvi una città. Il re non volendogliela concedere, le assegnò per schernirla tanta terra quanta ne potesse circondare con la pelle di un bue. L’astuta Didone tagliò la pelle in strisce sottilissime e si fece assegnare tutta la terra, affacciata sul mare, che era riuscita a recintare con le striscioline attaccate l’una all’altra, dando origine alla città di Cartagine.

L’ astuzia di Didone fu, oltre che nel tagliare la pelle del bue in strisce sottilissime con cui circondare la terra, soprattutto nel disegnare un cerchio (un semicerchio a dir la verità, perché desiderava che la città avesse uno sbocco sul mare). Infatti è possibile che Didone, a livello intuitivo, fosse a conoscenza di una proprietà matematica che sfruttò a suo favore: la proprietà isoperimetrica del cerchio.

In cosa consiste? In sostanza, se si considerano tutte le figure piane aventi un dato perimetro fissato, il cerchio è quella con l’area maggiore. Lo stesso principio vale anche nello spazio tridimensionale: fra tutti i solidi aventi stessa superficie esterna, la sfera ha il maggior volume. Il principio può essere enunciato equivalentemente così: fissato un volume, la sfera è quel solido che contiene l’ assegnato volume con la minor superficie esterna.

Per capire meglio empiricamente questo fatto, utilizziamo otto cubetti della stessa dimensione e cerchiamo di formare dei parallelepipedi di ugual volume e superficie differente. Io ho utilizzato i cubetti contenuti negli Allegri Mattoncini Legnoland.

34 facce quadrate
28 facce quadrate
24 facce quadrate

Come si intuisce visivamente, a parità di volume, il cubo ha la superficie minima. Ora domandiamoci: fra i solidi di egual volume e forma diversa, quale è quello con la superficie minima? Partiamo da un pezzetto di Dido’ e modelliamo un cubo; poi con continue pressioni cerchiamo di renderlo più compatto possibile…senza neanche accorgervene ecco che stringerete fra le mani una bella sfera!

Tornando al nostro quesito originario, cioè perché le bolle hanno una forma sferica, ci manca solo un ultimo tassello per rispondere. Infatti, oltre che le leggi matematiche, le bolle seguono il principio fisico di minimizzazione: secondo questa legge, detta anche di sforzo ridotto, l’azione della tensione superficiale tende sempre a ridurre al minimo la superficie della bolla necessaria a contenere il volume d’aria che vi abbiamo soffiato ed abbiamo appena detto che questa superficie minima è esattamente la sfera!

Visto quante cose si imparano giocando? Ancora una volta, matematica e divertimento alla portata di tutti!!!

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