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Stomachion di Archimede – Matematica da giocare

Il puzzle matematico più antico del mondo si chiama Stomachion. La sua descrizione si trova in quello che è noto come il Palinsesto di Archimede di cui vi ho parlato nel mio articolo dedicato ad Indiana Jones.

Si tratta di un puzzle di dissezione composto da 14 pezzi all’interno di un quadrato. Puzzle simili, altrettanto famosi, sono il Tangram e il puzzle del quadrato pitagorico.

Scopo dello Stomachion è cercare di rimettere tutti i pezzi nella forma quadrata originale. Altro modo per giocare è quello di creare figure geometriche oppure forme familiari come quelle di animali.

La rocambolesca storia dello Stomachion

La storia dello Stomachion e del Palinsesto di Archimede è talmente avvincente da sembrare la trama di un film di Indiana Jones.

Il testo che descrive lo Stomachion fu scritto per la prima volta nel X secolo dC, e fu copiato da opere precedenti di Archimede.

Nel XIII secolo questo manoscritto fu raschiato, ripulito e riutilizzato dagli scribi per riscrivere un libro di preghiere.

La parola “palinsesto” si riferisce proprio a questa pratica comune in quell’epoca e dovuta al fatto che la pergamena era molto costosa e difficile da reperire.

Nel 1906 uno studioso di Archimede chiamato Johan Heiburg iniziò a indagare sul testo che giaceva nascosto sotto il libro di preghiere.

Purtroppo il manoscritto è poi scomparso dalla biblioteca greco-ortodossa di Costantinopoli dove era conservato.

È riemerso alcuni anni dopo, in circostanze misteriose, con un uomo d’affari chiamato Marie Louis Sirieix che ha affermato di averlo acquistato da un monaco.

Durante la scomparsa un falsario aveva aggiunto alcune sezioni di foglia d’oro, quasi distruggendo il testo sottostante.

Nel 1998 la figlia di Sirieix ha venduto all’asta il palinsesto di Archimede per 2 milioni di dollari ed è stato acquistato da un anonimo imprenditore.

Fortunatamente l’imprenditore lo ha poi lasciato alle cure del Walters Art Museum di Baltimora, dove è stato finalmente possibile analizzarlo utilizzando metodi molto sofisticati.

Le moderne tecniche hanno reso possibile la lettura completa dell’originale Palinsesto di Archimede, inclusa l’unica copia conosciuta degli scritti di Archimede sullo Stomachion.

Come costruire lo Stomachion

Realizzare lo Stomachion è davvero molto semplice. Basta munirsi di un foglio a quadretti, un righello e una matita.

Partite da un quadrato 12×12 e tracciate tutte le linee come in figura. Incollate su un cartoncino colorato. Ritagliate il quadrato e tutti i pezzi.

Ne risulterà uno Stomachion resistente e attraente anche per i più piccoli. In alternativa, salvate e stampate l’immagine sottostante.

Stomachion di Archimede
Stomachion di Archimede

Il consiglio è sempre quello di incollare l’immagine su una superficie rigida in modo da rendere più facile la presa dei diversi pezzi.

La matematica dietro lo Stomachion

Calcolo combinatorio

Provando più volte a ricomporre lo Stomachion di Archimede, ci si rende conto che esistono diverse soluzioni distinte.

Per soluzione distinta si intende una configurazione che non si ottiene da una precedente semplicemente con una rotazione o una riflessione.

Così come nel caso del Puzzle dei sette esagoni, ciò che interessa ai matematici è cercare di capire quante siano queste soluzioni.

Non è chiaro se Archimede abbia affrontato il problema e possa essere considerato un precursore del calcolo combinatorio.

Data la sua genialità, gli studiosi sono propensi verso una risposta affermativa, come rivelano recenti studi.

Attualmente grazie all’impiego di potenti calcolatori si conoscono 17.152 soluzioni di cui 536 geometricamente distinte.

Geometria

Lo Stomachion di Archimede è composto da 14 poligoni. In particolare distinguiamo: 11 triangoli, 2 quadrilateri ed un pentagono.

Stomachion di Archimede e area di ogni sezione

Possiamo calcolare l’area di ogni pezzo, come si vede in figura, applicando un teorema poco conosciuto che però può essere utile nella pratica, per calcolare l’area dei poligoni irregolari.

Si tratta del teorema di Pick che prende il nome dal matematico austriaco, amico di Einstein, che l’ha dimostrato nel 1899.

Teorema di Pick
Immaginiamo di avere un piano cartesiano e di evidenziare al suo interno il reticolo di punti a coordinate intere.

Dato un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, indichiamo:

I il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;

P il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

L’area A di un qualunque poligono semplice i cui vertici sono punti del reticolo è data dalla formula:

A = I + (P/2) – 1

Non mi resta che augurarvi buon divertimento, spero che questo gioco vi piaccia e che sia utile per intrattenere i vostri bimbi.

Potete realizzarlo anche su fogli calamitati e sfruttarlo in macchina come passatempo durante il viaggio per raggiungere la meta delle vostre vacanze.

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