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Torre di Hanoi Donuts per un divertente Pi Day

In occasione del Pi Greco Day e della Giornata Internazionale della Matematica ho realizzato un nuovo gioco stampabile: la Torre di Hanoi.

Conosciuta anche come Torre di Brahma, si tratta di un puzzle-rompicapo inventato dal matematico francese Édouard Lucas nel 1883.

Torre di Hanoi
Torre di Hanoi

Per rendere il gioco più interessante, Lucas lo diffuse sotto lo pseudonimo di N. Claus de Siam, mandarino del collegio di Li-Sou-Stian. In più venne distribuito accompagnato da un’antica leggenda:

<<Nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna il centro del mondo, si trovano 64 dischi d’oro puro.

I monaci li spostano, uno al giorno, infilandoli in un ago di diamanti seguendo l’immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere posato su un altro più piccolo.

All’inizio del mondo tutti i 64 dischi erano infilati in un ago e formavano la Torre di Brahma. Il processo di spostamento dei dischi da un ago all’altro è tuttora in corso.

Quando l’ultimo disco sarà finalmente piazzato a formare di nuovo la Torre di Brahma in un ago diverso, allora arriverà la fine del mondo e tutto si trasformerà in polvere>>.

Regole del gioco

Il problema della Torre di Hanoi è composto da 3 aste e N dischi di diverse dimensioni. L’obiettivo è spostare la pila di dischi, ordinati dal più grande al più piccolo, dall’asta più a sinistra a quella più a destra.

Come tutti i problemi, la difficoltà sta nel seguire alcune regole:

1. Si può spostare solo un disco alla volta.
2. Si può spostare un disco solo se è il disco più in alto su una pila.
3. Non si può mai posizionare un disco più grande sopra uno più piccolo.

Torre di Hanoi stampabile

Il tema di quest’anno per la Giornata Internazionale della Matematica è: giocare con la matematica.

Per l’occasione ho pensato di realizzare un nuovo stampabile che avesse attinenza con il Pi Greco, la famosa costante matematica.

Quindi ho ideato una Torre di Hanoi in un formato particolare: con i Donuts al posto dei dischi e tre piatti al posto delle aste.

Torre di Hanoi

Come è facile intuire, la scelta non è stata per nulla casuale. Le ciambelle hanno una forma che i matematici chiamano toro, di cui vi avevo parlato anche a proposito delle Graffe di Carnevale.

La costante matematica Pi Greco è fondamentale se volete calcolare l’area e il volume delle ciambelle.

Infatti valgono le seguenti formule:

A=2 π r *2 π R=4 π 2 Rr

V= π r2 *2 π R=2 π 2 Rr2

Prima di iniziare a giocare potete chiedere, soprattutto ai più grandi, di fare delle considerazioni sulla forma e le dimensioni degli oggetti stampati.

Per giocare invece non dovete far altro che incollare i donuts su un cartoncino spesso, per renderli più maneggevoli, ritagliarli e dare via al divertimento.

La matematica della Torre di Hanoi

Per risolvere la Torre di Hanoi si utilizza un algoritmo ricorsivo che si intuisce facilmente giocando con tre o quattro dischi.

L’interesse dei matematici, oltre che alla risoluzione vera e propria, è rivolto allo studio del numero minimo di mosse per raggiungerla.

Nel caso della Torre di Hanoi, per completare il gioco, sono necessarie almeno 2n-1 mosse, dove n è il numero di dischi di partenza.

Dimostrazione Per Induzione

Per n = 1 risulta 21 − 1 = 1: la formula è corretta (per spostare un disco basta una mossa).
Passo Induttivo. Supponiamo che si riescano a spostare n dischi in 2n – 1 mosse.
Dimostriamo che vale per n+1 cioè che per spostare n+1 dischi bastino 2n+1 – 1 mosse. Indichiamo con M(n)=2n -1 le mosse per spostare n dischi.
L’algoritmo dice che M(n+1) = M(n) + 1 + M(n).
Infatti, si devono prima spostare n dischi piccoli sul paletto ausiliario, lasciando il più grande sul paletto di partenza, e per fare questo occorrono M(n) = 2n – 1 mosse; poi si sposta il disco grande sul paletto di destinazione (1 mossa) e infine di nuovo si spostano gli n dischi piccoli sul paletto di destinazione (ancora M(n) = 2n – 1 mosse).
In totale occorrono M(n+1) = 2n – 1 + 1 + 2n – 1 mosse, cioè 2*2n – 1=2n+1 – 1 mosse.
Il passo induttivo è quindi dimostrato.
Per il principio di induzione, concludiamo che, per ogni n > 0 si ha M(n) = 2n −1.

Prima della fine del mondo, i monaci della leggenda avranno quindi compiuto un mumero minimo di mosse pari a:

(264-1) = 18.446.744.073.709.551.616-1

Un fatto curioso è che lo stesso numero è coinvolto in un’altra leggenda, legata alla nascita del gioco degli scacchi.

Se questo gioco vi è piaciuto e vi piacerebbe che ne realizzassi altri, lasciate un commento. Non dimenticate di seguirmi sui miei social per rimanere sempre aggiornati sulle novità: Pinterest, Facebook e Instagram.

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Torre di Hanoi

One thought on “Torre di Hanoi Donuts per un divertente Pi Day

  1. Sì, me la ricordo La Torre di Hanoi! Questo gioco l’avevamo in ludoteca, quando ci lavoravo, assieme ad altri rompicapo. Erano tutti in legno naturale, molto belli, e devo averci provato diverse volte a risolverlo, non so però se fossi riuscita o no nell’intento. Bella la tua idea di realizzarne una versione in carta e cartone, è molto accattivante con i disegni degli allegri donuts. Interessante la leggenda legata al gioco che tu hai trascritto, ci mostra come le origini di tanti giochi si perdano nella notte dei tempi intrecciandosi spesso con storie e leggende antiche. Ciao MammaConta!

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