Albero di Natale matematico: da Tartaglia a Sierpinski

L’albero di Natale è il protagonista indiscusso delle decorazioni natalizie. Continuando il filone intrapreso con gli alberi origami, vi propongo un albero di Natale matematico da stampare e colorare.

Si tratta di un’ attività “artistica” che permette di osservare, esplorare e fissare molti concetti matematici in maniera divertente:

• numeri pari e dispari;

•probabilità;

•simmetria;

•numeri di Fibonacci;

•frattali.

L’idea è quella di partire dal triangolo di Tartaglia e, con l’utilizzo dei colori, mettere in risalto alcuni aspetti particolari.

Cos’è il triangolo di Tartaglia

La costruzione del triangolo di Tartaglia era già nota ai matematici cinesi del XIV secolo e forse anche in epoca anteriore. In Italia prese il nome da Niccolò Fontana detto Tartaglia; egli lo descrisse nel suo General trattato di numeri et misure del 1556 e ne presentò alcune proprietà.

In Francia e nel mondo anglosassone invece prese il nome da Blaise Pascal che, un secolo dopo, ne fece grande uso nei suoi studi sulla probabilità. Nel Traité du Triangle arithmétique (Trattato del triangolo aritmetico, pubblicato per la prima volta nel 1654), Pascal iniziò il suo testo con una pagina su cui disegnò il suo triangolo aritmetico.

Seguirono quasi cento pagine in cui il matematico elencò diciannove proprietà del triangolo, dimostrandone alcune e mostrandone altre con degli esempi.

Per costruire il triangolo di Tartaglia, considerate l’asse di simmetria del triangolo che collega il punto medio della base con il vertice opposto e seguite i seguenti passaggi:

• inserite degli 1 lungo i due lati del triangolo, simmetrici rispetto all’asse;

• riempite gli spazi vuoti sapendo che ogni numero è somma dei due numeri superiori.

Ogni numero del triangolo è somma dei due numeri superiori

La principale applicazione del triangolo di Tartaglia riguarda lo sviluppo di una qualsiasi potenza di binomio, infatti gli elementi dell’n-esima riga del triangolo, con n numero naturale maggiore e uguale a 1, corrispondono ai coefficienti dello sviluppo della potenza di binomio (x+y)^n-1 .

Esempio di applicazione del Triangolo di Tartaglia

Calcoliamo la potenza del binomio:

(x+y)⁴= x⁴+4x³y+6x²y²+4xy³+y⁴ .

Come potete vedere i coefficienti dello sviluppo della potenza del binomio si possono leggere sulla quinta riga del triangolo di Tartaglia.

Albero di Natale matematico con il triangolo di Tartaglia

In rete esistono molti esempi di albero di Natale rappresentato a partire dal triangolo di Tartaglia, uno in particolare mi è piaciuto ed ho deciso di riproporlo. A differenza di altri avrei potuto spacciare l’idea per mia, invece vi dico subito dove trovare l’originale: ourfamilycode.com.

Ho comunque deciso di realizzare la mia personale versione. Potete vederla qui sotto e scaricare il file seguendo il link del download.

Albero di Natale matematico - triangolo di Tartaglia — Albero di Natale matematico – Triangolo di Tartaglia

Albero di Natale di Pascal pieno Download

Albero di Natale di Pascal vuoto Download

Ho messo a disposizione due alberi di Natale: il primo con la sequenza di numeri già inserita, il secondo completamente vuoto ma con più caselle da riempire con numeri e colori.

Una volta stampati i file, potete sbizzarrirvi insieme ai vostri figli. Il suggerimento è quello di scegliere delle particolari caratteristiche e sfruttarle per riempire gli spazi vuoti: darete vita a motivi sempre diversi e ad alberi di Natale sorprendenti.

Per esempio potreste chiedere di colorare i multipli di numeri diversi: solo i multipli di 2, solo quelli di 3 e così via dicendo…Oppure scegliere di colorare dello stesso colore le diagonali (la somma dei numeri su ciascuna diagonale è un numero della successione di Fibonacci!).

Cosa si ottiene invece nel triangolo se si colorano solo i numeri pari o solo quelli dispari?

Albero di Natale di Sierpinski

Se avete risposto all’ultima domanda ed avete colorato i numeri dispari sul triangolo di Pascal, vi siete trovati di fronte al triangolo di Sierpinski.

Di questa particolare figura vi avevo parlato già in passato, mostrandovi i bellissimi pavimenti Cosmateschi della Cattedrale di Anagni.

Albero di Natale matematico Sierpinski — Pavimento cosmatesco della Cattedrale di Anagni

Il triangolo di Sierpiński è un frattale che prende il nome da Wacław Sierpiński che lo descrisse nel 1915.

È un esempio di insieme auto-similare, cioè matematicamente generato da un pattern che si ripete allo stesso modo su scale diverse.

Qui sotto potete ammirare l’albero di Sierpiński in tutto il suo splendore!

Una volta imparato potete utilizzare questo motivo e gli altri che troverete nelle vostre indagini matematiche per decorare la casa, oppure per realizzare biglietti d’auguri e chiudipacco ad effetto.

Spero che questo albero di Natale matematico possa essere utile e come sempre vi invito a cercare altre idee sul mio blog e attraverso la mia bacheca Pinterest.